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«La dimension écrite des mathématiques les rapproche de la musique et de la littérature»

Martin Hairer est professeur de mathématiques à l'Imperial College de Londres, et a reçu la médaille Fields en 2014 | Colloque Wright, DR

Heidi.news est partenaire média du colloque Wright, consacré cette année aux mathématiques, qui se tient du 2 au 6 novembre 2020. Conférences uniquement en ligne sur www.colloquewright.ch.

A l’Université de Genève (UNIGE), son alma mater, on ne présente plus Martin Hairer. Le mathématicien, de nationalités britannique et autrichienne, a en effet grandi et étudié dans la cité de Calvin. Aujourd’hui professeur à l'Imperial College de Londres, il a reçu en 2014 la médaille Fields, l’une des plus prestigieuses récompenses en mathématiques. Plus récemment, en septembre 2020, il a reçu le Breakthrough Prize 2021 in Mathematics,  prix créé en 2013 par Iouri Milner et plusieurs dirigeants d’entreprises, dont Sergey Brin (ex-Google) et Mark Zuckerberg (Facebook), doté de trois millions de dollars.

A l’occasion de sa participation au 19e colloque Wright pour la science, il a donné une conférence (que vous pouvez retrouver en replay) en forme de voyage mathématique de l’infiniment petit à l’infiniment grand. Il y aborde la question du changement d’échelle dans l’Univers et la façon dont on passe d’un modèle mathématique à un autre pour décrire les phénomènes physiques…

Heidi.newsDans votre intervention au colloque Wright, pour illustrer les ordres de grandeur représentés par les changements d’échelle de l’infiniment petit à l’infiniment grand, vous offrez une relecture intéressante du «paradoxe du singe savant»…

Martin Hairer — Selon ce paradoxe très connu, si on laisse un singe taper à la machine à écrire, de façon totalement aléatoire, il faudra attendre au moins l’âge de l’Univers pour qu’il saisisse les œuvres complètes de Shakespeare. Mais cette image n’est pas tout à fait juste: pour que le singe écrive au moins une page d’une pièce de Shakespeare, il faudra attendre qu’il saisisse au moins 10 puissance 4000 caractères. Or, si l’on voulait représenter l’âge de l’Univers, ce nombre ne serait que de 10 puissance 33, ce qui paraît, en regard, insignifiant. C’est un nombre que l’on peut certes écrire, mais qui est infini en pratique. Cela pose la question des ordres de grandeur.

Vous y expliquez aussi ce qu’il se passe quand on «zoome» ou «dézoome» dans l’Univers: souvent, il faut passer d’un modèle à un autre. Mais vous dites qu’il existe aussi des «points fixes» fascinants, où des modèles restent exploitables à plusieurs échelles… L’écriture mathématique de ces points fixes fait intervenir des équations aux dérivées partielles «stochastiques», qui sont votre spécialité. Très simplement, de quoi s’agit-il?

Il faut commencer par définir de quoi l’on parle. Tout d’abord les équations aux dérivées partielles, et ensuite l’aspect «stochastique. Les équations aux dérivées partielles sont un outil utilisé aux quotidien par de nombreux métiers, en particulier en ingénierie. Par exemple en mécanique des fluides, pour modéliser l’écoulement de l’air autour d’un avion. Mais il y a aussi des situations physiques où il existe une composante aléatoire, par exemple le mouvement brownien, qui décrit l'agitation des molécules dans un fluide. C’est ce que l’on entend par le terme «stochastique», qui décrit cet aléa. Les équations aux dérivées partielles stochastiques permettent ainsi de comprendre des phénomènes naturels où intervient aussi le hasard.

Se pose aussi la question de disposer de théories plus ou moins générales. En physique théorique, il y a ces tentatives d’unir physique quantique et relativité pour obtenir une Grand Unified Theory

Les deux approches, l’une consistant à chercher des théories plus englobantes, et au contraire plus précises pour l’autre, sont intéressantes. Ce n’est pas soit l’un, soit l’autre! La quête d’une théorie du tout en physique ne sert pas forcément à quelque chose de concret. Cela ne va pas aider à mieux modéliser tel ou tel phénomène. En revanche, c’est utile, car ça nous aide à mieux comprendre ce qu’il se produit lorsqu’on passe d’un modèle à un autre.

Votre père, Ernst Hairer, est également mathématicien. Avant de choisir cette voie, vous avez étudié la physique, et même développé un logiciel d’édition sonore. Opter pour une carrière mathématique, était-ce une affaire de famille?

Mon père ne m’a pas poussé dans cette direction, même s’il m’a bien sûr indirectement influencé, comme dans toutes les familles. J’ai toujours été intéressé par les sciences en général et les maths en particulier. La principale raison pour laquelle j’ai au départ choisi la physique, en master puis en thèse, était aussi liée à mon jeune âge: les mathématiques que j’avais étudiées jusque-là me semblaient assez basiques, alors que les cours de physique me faisaient entrevoir d’autres formes de mathématiques plus avancées. Je crois aussi que je ne souhaitais pas passer les examens avec mon père, qui était alors professeur de mathématiques à l’UNIGE. Mais il enseignait à l’époque un module que l’on retrouvait aussi bien en physique, en mathématiques et en informatique, je n’aurais de toute façon pas pu y échapper (rires).

Vous avez reçu de nombreuses distinctions, parmi lesquelles la médaille Fields et le Breakthrough Prize. Avez-vous l’impression qu’elles font de vous un «ambassadeur des mathématiques» aux yeux du public?

Je comprends qu’il faille choisir quelques personnes dans une discipline donnée qui seront ensuite mises en avant par les médias. Bien entendu, on me demande plus souvent qu’avant d’intervenir dans la presse. De l’extérieur, on a l’impression que je me distingue des autres mathématiciens. Mais de l’intérieur, la différence n’est pas si grande, car les sciences sont produites par une communauté. Le montant de ces récompenses (trois millions de dollars pour le Breakthrough Prize, ndlr) n’est pas non plus particulièrement un facteur d’attractivité: si quelqu’un souhaite devenir riche rapidement, il se dirigera plus volontiers vers la finance que vers la recherche en mathématiques.

Dans Quanta Magazine, un de vos confrères est allé jusqu’à comparer les travaux qui vous ont fait gagner la médaille Fields au Seigneur des anneaux de Tolkien car ils ont créé «un nouveau monde». Pensez-vous que le mathématicien invente de nouveaux mondes abstraits, ou qu’à l’inverse il les découvre?

Il y a un peu des deux! On construit des outils, des nouveaux objets mathématiques qui sortent de l’imagination des mathématiciens. Une fois ces objets démontrés, tant qu’ils n’ont pas reçu de contradiction formelle, ils existent. Ce sont des objets qui ont une permanence. C’est aussi l’une des raisons qui m’ont attiré vers les mathématiques. C’est un peu comme lorsqu’un compositeur écrit une pièce: une fois que la partition existe, elle peut être interprétée différemment selon les musiciens. C’est la même chose en maths.

Cette 19e édition du colloque Wright est intitulé «L’art des mathématiques». De quel art les mathématiques vous semblent-elles les plus proches?

Chaque mathématicien vous donnera une réponse très personnelle! Pour ma part, je pense que les maths partagent des points communs avec la musique et avec la littérature. Il y a une dimension écrite, et un intérêt particulier porté à la structure, ce qui les rapproche de la littérature. Évidemment, pas au niveau du langage, qui est très différent. Mais le travail au niveau des structures pour faire passer un argument peut s’en rapprocher. Pour l’analogie avec la musique, il s’agit de l’art le plus abstrait. Ce qu’on perçoit quand on écoute la musique, ce sont des structures abstraites.

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